En 1916_1917, Albert Einstein publie un article sur la théorie quantique du rayonnement. Le passage étudié constitue l’ouverture conceptuelle de son raisonnement. Einstein n’y introduit pas immédiatement une hypothèse radicale : il part d’une observation formelle, presque mathématique, mais dont les conséquences seront profondes.
Einstein remarque que la courbe spectrale du rayonnement thermique présente une ressemblance formelle avec la loi de distribution des vitesses moléculaires donnée par la distribution de Maxwell–Boltzmann.
Dans un gaz classique, la probabilité qu’une molécule possède une certaine énergie est proportionnelle à un facteur exponentiel de type $ e^{-E/kT} $. Ce facteur de Boltzmann traduit le fait que les états de haute énergie sont statistiquement moins probables.
Or, dans la limite des hautes fréquences, la loi du rayonnement trouvée par Wilhelm Wien s’écrit sous la forme
\[ \rho(\nu,T) \propto \nu^3 e^{-h\nu/kT}. \]La structure est frappante : un facteur en puissance (ici $\nu^3$) multiplié par un terme exponentiel décroissant. Le terme $h\nu$ apparaît exactement à la place d’une énergie. Autrement dit, le rayonnement se comporte formellement comme si chaque fréquence correspondait à une entité énergétique $h\nu$ soumise à une statistique de type moléculaire.
Einstein souligne que cette similitude ne peut être fortuite. Elle suggère que le rayonnement thermique pourrait partager avec un gaz de particules certaines propriétés statistiques fondamentales.
Einstein rappelle ensuite que Wien avait établi une loi de déplacement reliant fréquence et température. Cette loi impose que la densité spectrale puisse s’écrire comme une fonction du rapport $\nu/T$. Elle exprime un résultat thermodynamique puissant : lorsque la température augmente, la forme du spectre se déplace sans se déformer fondamentalement.
Wien avait proposé une expression explicite, correcte dans le domaine des hautes fréquences. Cette formule reproduisait très bien les données expérimentales disponibles à l’époque. Toutefois, elle échouait à basse fréquence.
Einstein affirme ensuite qu’aucune approche fondée uniquement sur la mécanique et l’électrodynamique classiques ne peut produire une formule correcte du rayonnement. Cette affirmation s’appuie sur un résultat désormais célèbre : la théorie classique mène inévitablement à la loi dite de Rayleigh–Jeans.
Cette loi découle du théorème d’équipartition de l’énergie. Chaque mode électromagnétique d’une cavité reçoit en moyenne une énergie $kT$, indépendamment de sa fréquence. Comme le nombre de modes croît comme $\nu^2$, la densité spectrale devient proportionnelle à $\nu^2 kT$. Elle diverge lorsque la fréquence augmente : c’est la catastrophe ultraviolette.
Le contraste est radical. L’expérience montre une décroissance exponentielle aux hautes fréquences ; la théorie classique prédit une divergence. Il ne s’agit pas d’un simple désaccord quantitatif, mais d’une incompatibilité structurelle.
Einstein mentionne ensuite le travail fondamental de Max Planck. Planck avait introduit l’hypothèse que l’énergie des oscillateurs matériels échangeant de l’énergie avec le rayonnement ne pouvait varier que par multiples discrets de $h\nu$. Cette hypothèse permettait de dériver la formule aujourd’hui connue sous le nom de loi de Planck, qui s’accorde avec l’expérience sur tout le spectre.
Cependant, dans l’esprit de Planck, la quantification concernait essentiellement les oscillateurs de la matière, et non le rayonnement lui-même. Le champ électromagnétique restait, en principe, continu.
Einstein remarque alors que, dans la limite des hautes fréquences, la loi de Planck se réduit précisément à la loi de Wien. Autrement dit, dans ce domaine, le rayonnement obéit à une loi exponentielle identique à celle d’un gaz de particules d’énergie $h\nu$.
Lorsque Einstein écrit que l’argument de Wien a été oublié, il ne critique pas Planck. Il souligne que la réussite globale de la loi de Planck a fait perdre de vue la signification conceptuelle de la loi de Wien dans le régime des hautes fréquences.
Or c’est précisément dans ce régime que le rayonnement présente un comportement thermodynamique analogue à celui d’un gaz de particules indépendantes. Cette analogie va conduire Einstein à une conclusion audacieuse : dans certaines conditions, le rayonnement se comporte comme s’il était constitué de quanta d’énergie localisés.
Ainsi, dès l’introduction de son article, Einstein prépare la rupture. Il ne part pas d’une spéculation abstraite, mais d’une similitude mathématique entre deux lois statistiques. De cette analogie formelle va émerger une transformation radicale de la conception de la lumière : elle n’est plus seulement une onde continue décrite par les équations de Maxwell, mais possède, dans certaines situations, un caractère corpusculaire.
C’est dans la suite de l’article qu’Einstein démontrera que l’entropie du rayonnement à haute fréquence possède exactement la même dépendance en volume que celle d’un gaz parfait. À cet instant précis naît l’idée du « gaz de quanta de lumière », étape décisive vers la notion moderne de photon.
Dans ce passage, Albert Einstein franchit une étape décisive. Après avoir montré que la loi de Max Planck peut être obtenue à partir d’hypothèses quantiques simples sur les échanges d’énergie entre matière et rayonnement, il introduit une exigence nouvelle : si l’énergie est échangée, la quantité de mouvement doit l’être aussi. C’est ici que naît explicitement l’idée que chaque quantum de lumière transporte une impulsion $p = \varepsilon/c = h\nu/c$.
Einstein rappelle qu’il a obtenu la formule de Planck en postulant des processus élémentaires d’émission et d’absorption entre molécules et champ de rayonnement. Les molécules possèdent des états d’énergie discrets (hypothèse quantique) et, à l’équilibre thermique, les transitions entre ces états, sous l’action du champ, conduisent naturellement à la distribution spectrale de Planck.
L’idée centrale est la suivante : si les populations des niveaux moléculaires suivent la distribution quantique d’équilibre, et si l’émission et l’absorption sont correctement modélisées, alors le champ en équilibre doit être le rayonnement de Planck. Cette approche met l’accent sur le mécanisme microscopique d’interaction rayonnement–matière, encore obscur à l’époque.
Mais Einstein ajoute immédiatement que réussir à reproduire la bonne distribution d’énergie ne suffit pas. Une interaction réelle ne transfère pas seulement de l’énergie ; elle transfère aussi de la quantité de mouvement.
Si un rayonnement thermique agit sur des molécules, celles-ci subissent des impulsions dues aux processus d’absorption et d’émission. Ces impulsions doivent produire, à l’équilibre, une certaine distribution des vitesses moléculaires.
Or, indépendamment du rayonnement, les collisions entre molécules conduisent à la loi de Maxwell–Boltzmann distribution. À l’équilibre thermodynamique, les deux mécanismes — collisions moléculaires et interaction avec le champ — doivent être compatibles. La distribution de vitesses obtenue par l’action du rayonnement doit être la même que celle exigée par la mécanique statistique classique : l’énergie cinétique moyenne par degré de liberté doit valoir $\tfrac{1}{2}kT$.
Cette condition est extrêmement contraignante. Elle doit être satisfaite quelles que soient la nature des molécules et les fréquences impliquées. Einstein annonce qu’il va démontrer que ses hypothèses quantiques respectent cette exigence. Si tel est le cas, elles reçoivent un puissant soutien.
Einstein pose alors une question cruciale : lorsqu’une molécule émet ou absorbe une énergie $\varepsilon$, subit-elle une impulsion ?
En électrodynamique classique, si un corps émet une énergie $\varepsilon$ entièrement dans une direction, il subit un recul de quantité de mouvement $\varepsilon/c$. En revanche, si l’émission est parfaitement symétrique dans l’espace (onde sphérique idéale), les impulsions se compensent et il n’y a pas de recul net.
Transposé à la théorie quantique, cela signifie qu’un processus élémentaire d’émission pourrait être soit directionnel, soit parfaitement symétrique. Einstein montre que seule l’hypothèse d’un processus parfaitement directionnel évite les contradictions dynamiques. Autrement dit, chaque événement élémentaire d’émission ou d’absorption doit être associé à un transfert bien défini de quantité de mouvement.
La conclusion implicite est majeure : si une molécule émet ou absorbe un quantum d’énergie $h\nu$, elle doit subir un recul correspondant à une impulsion
\[ p = \frac{h\nu}{c}. \]Ainsi, le quantum de lumière ne transporte pas seulement une énergie $h\nu$, mais aussi une quantité de mouvement $h\nu/c$, orientée dans une direction précise.
Ce résultat dépasse la simple dérivation statistique de la loi de Planck. Il donne au quantum de rayonnement une réalité dynamique. La lumière ne se comporte plus seulement comme un champ ondulatoire continu ; chaque processus élémentaire agit comme un événement localisé, directionnel, analogue à l’émission d’une particule.
On voit ici apparaître clairement la dualité onde–corpuscule. Le champ de rayonnement conserve ses propriétés ondulatoires globales (interférences, modes de cavité), mais ses interactions élémentaires avec la matière présentent un caractère discret et directionnel, incompatible avec une description purement continue.
L’analyse d’Einstein prépare directement plusieurs développements ultérieurs. L’idée que le rayonnement transporte une quantité de mouvement sera confirmée expérimentalement (pression de radiation, effet Compton). Elle est aujourd’hui inscrite au cœur de l’électrodynamique quantique.
Le point essentiel du texte est donc le suivant : une théorie correcte du rayonnement ne doit pas seulement reproduire la bonne distribution énergétique ; elle doit aussi respecter les exigences dynamiques de l’équilibre thermodynamique. Cette cohérence impose que chaque quantum de lumière transporte une impulsion bien définie.
Dans cette démonstration, Einstein transforme une hypothèse statistique en une réalité physique complète : le quantum devient une entité porteuse d’énergie et de quantité de mouvement. C’est une étape décisive vers la notion moderne de photon.
La pression de radiation est une conséquence directe du fait que le rayonnement électromagnétique transporte non seulement de l’énergie, mais aussi de la quantité de mouvement. Dans l’électrodynamique classique, une onde lumineuse transporte une densité d’énergie $u$ et une densité de quantité de mouvement $u/c$. Lorsqu’un faisceau lumineux est absorbé par une surface, il lui transmet cette quantité de mouvement et exerce donc une force. La pression correspondante vaut $P = I/c$ pour une absorption complète (où $I$ est l’intensité), et $P = 2I/c$ pour une réflexion parfaite. Ce phénomène, prédit par la théorie de Maxwell, a été confirmé expérimentalement dès le début du XXᵉ siècle. Dans le cadre quantique introduit par Albert Einstein, la pression de radiation s’interprète simplement : chaque quantum de lumière d’énergie $h\nu$ transporte une impulsion $p = h\nu/c$. L’accumulation de ces impulsions microscopiques produit une force macroscopique mesurable. La pression de radiation constitue ainsi une manifestation expérimentale du transport de quantité de mouvement par la lumière.
L’effet Compton, découvert en 1923 par Arthur Compton, fournit une preuve encore plus directe du caractère corpusculaire du rayonnement. Lorsqu’un photon de haute énergie (rayons X) diffuse sur un électron quasi libre, la longueur d’onde du photon diffusé augmente d’une quantité qui dépend uniquement de l’angle de diffusion. Cette variation, appelée décalage Compton, s’explique naturellement en traitant l’interaction comme un choc entre deux particules : le photon d’énergie $h\nu$ et l’électron. L’application simultanée des lois de conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement conduit à la formule du décalage $\Delta \lambda = \frac{h}{m_ec}(1 - \cos\theta)$. Aucune théorie purement ondulatoire ne peut rendre compte de ce résultat. L’effet Compton montre donc que le photon se comporte comme une entité localisée possédant une énergie et une impulsion bien définies, confirmant de manière spectaculaire l’intuition d’Einstein sur la réalité dynamique des quanta de lumière.
Einstein commence par rappeler l’hypothèse centrale de la théorie quantique naissante : une molécule ne peut pas posséder une énergie interne quelconque, mais seulement certaines valeurs discrètes
\[ \varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n \]Ces états sont notés $Z_1, Z_2, \ldots, Z_n$.
Il s’agit ici de l’énergie interne (structure électronique ou vibrationnelle), indépendamment du mouvement de translation.
Si ces molécules sont en équilibre thermique à température $T$, alors la probabilité qu’une molécule soit dans l’état $Z_n$ est donnée par la distribution canonique :
\[ W_n = p_n \, e^{-\varepsilon_n/kT} \]où :
Ce résultat vient directement de la mécanique statistique.
Il généralise la loi de Maxwell des vitesses à des niveaux d’énergie discrets.
Idée essentielle : la quantification des niveaux ne modifie pas la forme générale du facteur de Boltzmann.
Einstein n’a pas besoin ici de connaître les niveaux en détail. Il suppose simplement qu’ils existent.
Considérons deux niveaux $Z_n$ et $Z_m$, avec
\[ \varepsilon_m > \varepsilon_n \] La molécule peut :L’énergie échangée est :
\[ \varepsilon_m - \varepsilon_n \]Einstein introduit trois processus élémentaires.
Même sans champ extérieur, une molécule excitée peut retomber vers un niveau plus bas en émettant un rayonnement.
La probabilité pendant $dt$ est :
\[ dW = A_{m}^n \, dt \]C’est un processus intrinsèque, analogue à une désintégration radioactive.
C’est une hypothèse nouvelle et profonde : la matière instable émet spontanément.
Si un champ de rayonnement de densité spectrale $ \rho $ est présent, une molécule peut absorber :
\[ dW = B_{n}^m \rho \, dt \]Plus le champ est intense, plus la probabilité augmente.
Sous l’influence du champ, une molécule excitée peut être forcée d’émettre :
\[ dW = B_{m}^n \rho \, dt \]C’est ici qu’apparaît l’émission stimulée — le principe fondamental du laser (bien avant son invention).
Einstein va plus loin que Planck.
Si une molécule absorbe un quantum d’énergie $ \varepsilon_m - \varepsilon_n $, elle doit aussi recevoir une impulsion :
\[ p = \frac{\varepsilon_m - \varepsilon_n}{c} \]Pourquoi ?
Parce que le rayonnement transporte une quantité de mouvement $E/c$.
Pour l’émission spontanée, la théorie classique dirait que l’onde est sphérique → pas de recul net.
Mais Einstein montre qu’une théorie cohérente exige que chaque processus élémentaire soit directionnel.
Donc :
Chaque quantum transporte :
\[ p = \frac{h\nu}{c} \]Nous avons ici l’affirmation claire que le quantum est une entité porteuse d’énergie et d’impulsion.
Einstein cherche maintenant la densité de rayonnement $ \rho $ telle que la distribution canonique des états ne soit pas perturbée.
Condition d’équilibre :
Nombre de transitions montantes = nombre de transitions descendantes.
On impose donc :
\[ p_n e^{-\varepsilon_n/kT} B_{n}^m \rho = p_m e^{-\varepsilon_m/kT}(A_{m}^n + B_{m}^n\rho) \]C’est simplement un bilan statistique.
En résolvant cette équation, Einstein obtient :
\[ \rho(\nu,T) = \frac{A_{m}^n/B_{m}^n} {e^{(\varepsilon_m-\varepsilon_n)/kT}-1} \]C’est déjà la structure de la loi de Planck.
On sait expérimentalement que la loi de Planck est :
\[ \rho(\nu,T) = \frac{8\pi\nu^2}{c^3} \frac{h\nu}{e^{h\nu/kT}-1} \]Pour que les deux formes coïncident, il faut :
\[ \varepsilon_m - \varepsilon_n = h\nu \]C’est la condition fondamentale de Bohr :
La fréquence du rayonnement est déterminée par la différence d’énergie des niveaux.
Einstein montre donc que cette relation n’est pas une hypothèse isolée, mais une conséquence nécessaire de l’équilibre thermodynamique.
Son raisonnement établit plusieurs choses fondamentales :
C’est une démonstration de cohérence interne de la théorie quantique.
En supposant :
Einstein montre que :
C’est ici que la lumière devient pleinement une entité quantique dynamique.
Interprétation du §4–7 de l’article d’Einstein (1917).
L’idée centrale est la suivante : si la lumière échange de l’énergie quantifiée avec la matière, elle doit aussi échanger de la quantité de mouvement, et cela doit être compatible avec l’équilibre thermique.
Einstein ne se contente pas d’étudier l’échange d’énergie entre matière et rayonnement. Il pose une question plus profonde :
> Si le rayonnement est en équilibre thermique avec un gaz à la température $T$, les échanges d’impulsion entre photons et molécules doivent conduire exactement à la bonne agitation thermique.
Autrement dit : le rayonnement ne doit ni refroidir ni réchauffer mécaniquement le gaz.
Cela impose une contrainte extrêmement forte sur la manière dont la lumière transmet sa quantité de mouvement.
Pour démontrer cela, Einstein adopte une méthode inspirée du mouvement brownien, tel qu’il l’avait analysé en 1905.
Dans le mouvement brownien, une particule massive plongée dans un fluide subit deux effets :
Einstein applique exactement la même structure au problème du rayonnement.
Considérons une molécule de masse $M$, se déplaçant selon l’axe $x$ avec une vitesse $v$.
Pendant un court intervalle de temps $\tau$, sa quantité de mouvement change pour deux raisons :
Au bout du temps $\tau$, la quantité de mouvement devient donc :
\[ Mv - Rv\tau + A \]En régime stationnaire, la distribution des vitesses ne doit pas évoluer.
Donc la moyenne quadratique de la quantité de mouvement doit rester constante.Einstein impose :
\[ \langle (Mv - Rv\tau + A)^2 \rangle = \langle (Mv)^2 \rangle \]En développant et en négligeant le terme croisé $\langle vA \rangle$ (car $A$ est aléatoire et non corrélé à $v$), on obtient :
\[ \langle A^2 \rangle = 2 R M \langle v^2 \rangle \tau \]C’est l’équation fondamentale (10) du texte.
Elle relie :
C’est exactement l’équilibre fluctuation–dissipation.
Einstein ajoute une contrainte essentielle.
Si le rayonnement est à la température $T$, il doit produire sur la molécule la même agitation thermique que celle prédite par la théorie cinétique :
\[ \frac{1}{2} M \langle v^2 \rangle = \frac{1}{2} kT \]Donc
\[ M \langle v^2 \rangle = kT \]En remplaçant dans la relation précédente, on obtient :
\[ \frac{\langle A^2 \rangle}{\tau} = 2 R kT \]C’est l’équation (12).
Toute théorie cohérente du rayonnement doit satisfaire cette relation.
C’est la contrainte thermodynamique centrale.
Le rayonnement est isotrope dans le référentiel du laboratoire.
Mais une molécule en mouvement ne voit plus un champ isotrope.
À cause :
le rayonnement semble plus intense dans la direction opposée au mouvement.
Conséquence : la molécule absorbe un peu plus d’impulsion dans un sens que dans l’autre.
Cela produit un freinage proportionnel à $v$.
Einstein calcule cela en changeant de référentiel (celui de la molécule), en utilisant :
\[ \nu' = \nu \left(1 - \frac{v}{c}\cos\phi \right) \]et les lois de transformation relativistes.
Il montre que le flux d’impulsion net est proportionnel à $v$.
On obtient finalement une expression explicite pour $R$ (équation 21), proportionnelle à la densité spectrale $Q(\nu)$ du rayonnement.
Chaque absorption ou émission correspond à un événement élémentaire.
Einstein postule que lors d’un tel événement, la molécule reçoit une impulsion :
\[ \Delta p = \frac{h\nu}{c} \]dans la direction de propagation du rayonnement.
Si l’émission est spontanée, la direction est aléatoire : le recul est distribué au hasard.
En considérant que les événements sont indépendants, la variance totale des impulsions est :
\[ \langle A^2 \rangle = I \left( \frac{h\nu}{c} \right)^2 \]où $I$ est le nombre d’événements par unité de temps.
En utilisant les coefficients d’Einstein $A$ et $B$, il calcule explicitement cette quantité (équation 25).
Einstein insère :
dans l’équation thermodynamique :
\[ \frac{\langle A^2 \rangle}{\tau} = 2 R kT \]Et miracle :
l’égalité est satisfaite exactement si la densité spectrale du rayonnement est donnée par la loi de Planck.
Autrement dit :
alors l’équilibre thermique est respecté.
Si l’on change l’une de ces hypothèses, l’équilibre est violé.
C’est un argument d’une force remarquable.
Einstein conclut :
Il écrit explicitement que cela rend presque inévitable une théorie corpusculaire du rayonnement.
C’est ici que naît véritablement le concept moderne de photon, avant même que le mot n’existe.
Cette partie de l’article montre quelque chose de profond :
Ce résultat ne vient pas d’un modèle mécanique de la lumière.
Il vient d’un argument d’équilibre statistique.
C’est pour cela que ce texte est si important :
Einstein déduit le comportement corpusculaire du rayonnement à partir de la thermodynamique.