Le rayonnement du corps noir et la théorie de Max Planck

Le problème du rayonnement thermique

Un corps noir est un système idéal capable d’absorber intégralement tout le rayonnement électromagnétique qu’il reçoit, quelle que soit la fréquence. En équilibre thermique à la température $ T $, il émet un rayonnement dont le spectre ne dépend que de cette température. L’expérience montre que la densité spectrale d’énergie $ u(\nu, T) $ présente un maximum à une fréquence proportionnelle à $ T $ (loi de Wien) et décroît rapidement aux hautes fréquences.

À la fin du XIXᵉ siècle, la théorie classique de l’électromagnétisme, fondée sur les équations de Maxwell, semblait suffisante pour décrire les modes électromagnétiques dans une cavité. Pourtant, l’application du théorème d’équipartition de l’énergie conduisait à un résultat catastrophique : la loi de Rayleigh–Jeans prédisait une divergence de l’énergie totale lorsque la fréquence augmente, ce que l’on a appelé la « catastrophe ultraviolette ». Cette contradiction profonde entre théorie et expérience a ouvert la voie à l’hypothèse révolutionnaire de Max Planck en 1900.

Les modes électromagnétiques dans une cavité

Considérons une cavité cubique de volume $ V = L^3 $, dont les parois sont parfaitement conductrices. Le champ électromagnétique y forme des ondes stationnaires satisfaisant des conditions aux limites. Les composantes du vecteur d’onde sont quantifiées :

\[ k_x = \frac{n_x \pi}{L}, \quad k_y = \frac{n_y \pi}{L}, \quad k_z = \frac{n_z \pi}{L}, \]

où $ n_x, n_y, n_z $ sont des entiers positifs. La norme du vecteur d’onde est :

\[ k = \sqrt{k_x^2 + k_y^2 + k_z^2}. \]

La fréquence associée est donnée par la relation de dispersion des ondes électromagnétiques dans le vide :

\[ \nu = \frac{c k}{2\pi}. \]

Le nombre de modes dont la fréquence est comprise entre $ \nu $ et $ \nu + d\nu $ peut être déterminé en comptant les points dans l’espace des vecteurs d’onde. On obtient, en tenant compte des deux polarisations indépendantes :

\[ g(\nu) \, d\nu = \frac{8\pi V}{c^3} \nu^2 \, d\nu. \]

La densité volumique de modes vaut donc :

\[ \frac{g(\nu)}{V} = \frac{8\pi}{c^3} \nu^2. \]

Cette croissance en $ \nu^2 $ est purement géométrique et indépendante de toute hypothèse thermodynamique.

L’échec de la théorie classique

Dans la physique classique, chaque mode du champ électromagnétique est équivalent à un oscillateur harmonique. Le théorème d’équipartition affirme qu’à l’équilibre thermique, chaque degré quadratique d’énergie possède une énergie moyenne $ \frac{1}{2}kT $. Un oscillateur harmonique ayant deux termes quadratiques (énergie cinétique et potentielle), son énergie moyenne est :

\[ \langle E \rangle = kT. \]

La densité spectrale d’énergie devient alors :

\[ u(\nu,T) \, d\nu = \frac{g(\nu)}{V} \langle E \rangle d\nu = \frac{8\pi}{c^3} \nu^2 kT \, d\nu. \]

C’est la loi de Rayleigh–Jeans. Elle est correcte aux basses fréquences mais diverge pour $ \nu \to \infty $, car l’énergie totale

\[ \int_0^\infty u(\nu,T) \, d\nu \]

devient infinie. L’expérience montre au contraire une décroissance exponentielle aux hautes fréquences.

L’hypothèse de Planck : la quantification de l’énergie

Pour résoudre cette contradiction, Planck a introduit une hypothèse radicale : les oscillateurs matériels échangeant de l’énergie avec le champ électromagnétique ne peuvent absorber ou émettre l’énergie que par paquets discrets proportionnels à la fréquence :

\[ E_n = n h \nu, \]

où $ n $ est un entier et $ h $ est aujourd’hui appelée constante de Planck. Cette hypothèse n’était pas issue d’une théorie dynamique mais d’un ajustement visant à reproduire les observations expérimentales.

Il s’agit d’un changement conceptuel majeur : l’énergie d’un oscillateur n’est plus continue, mais discrète.

Calcul statistique de l’énergie moyenne

On applique la statistique de Boltzmann aux niveaux d’énergie quantifiés. La probabilité qu’un oscillateur soit dans l’état $ n $ est proportionnelle à :

\[ e^{-E_n / kT} = e^{-n h\nu / kT}. \]

La fonction de partition d’un oscillateur est :

\[ Z = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-n h\nu / kT}. \]

Il s’agit d’une série géométrique de raison $ q = e^{-h\nu / kT} $, dont la somme vaut :

\[ Z = \frac{1}{1 - e^{-h\nu / kT}}. \]

L’énergie moyenne s’obtient par :

\[ \langle E \rangle = -\frac{\partial}{\partial \beta} \ln Z, \quad \text{où } \beta = \frac{1}{kT}. \]

On trouve après dérivation :

\[ \langle E \rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu/kT} - 1}. \]

Cette expression diffère profondément du résultat classique. Lorsque $ h\nu \ll kT $, on retrouve $ \langle E \rangle \approx kT $. Lorsque $ h\nu \gg kT $, l’énergie moyenne décroît exponentiellement.

La loi de Planck

En combinant la densité de modes avec l’énergie moyenne quantifiée, on obtient la densité spectrale volumique d’énergie :

\[ u(\nu,T) \, d\nu = \frac{8\pi}{c^3} \nu^2 \frac{h\nu}{e^{h\nu/kT} - 1} \, d\nu. \]

C’est la loi de Planck du rayonnement du corps noir. Elle reproduit parfaitement les résultats expérimentaux.

À basse fréquence, en développant l’exponentielle :

\[ e^{h\nu/kT} - 1 \approx \frac{h\nu}{kT}, \]

on retrouve la loi de Rayleigh–Jeans. À haute fréquence, le terme exponentiel domine et l’on obtient :

\[ u(\nu,T) \sim \frac{8\pi h}{c^3} \nu^3 e^{-h\nu/kT}, \]

ce qui correspond à la loi de Wien.

Conséquences physiques

La loi de Planck permet de déduire plusieurs résultats fondamentaux. L’intégration sur toutes les fréquences conduit à la loi de Stefan–Boltzmann :

\[ U = a T^4, \]

où $ a $ est une constante universelle liée à $ h $, $ k $ et $ c $. De plus, la position du maximum du spectre satisfait :

\[ \nu_{\text{max}} \propto T, \]

ce qui correspond à la loi de déplacement de Wien.

La théorie de Planck marque la naissance de la physique quantique. L’introduction du quantum d’action $ h $ a ouvert la voie aux travaux de Albert Einstein sur l’effet photoélectrique, puis à la formulation complète de la mécanique quantique au XXᵉ siècle.

Conclusion

Le rayonnement du corps noir représente un tournant majeur dans l’histoire de la physique. L’échec de la théorie classique face à la catastrophe ultraviolette a révélé une limite fondamentale des concepts continus de l’énergie. En introduisant la quantification $ E = h\nu $, Planck a fourni une description correcte du spectre thermique et posé les bases d’une nouvelle vision du monde microscopique, où l’énergie n’est plus un continuum mais une grandeur discrète gouvernée par une constante universelle fondamentale.

La loi de Wien en fréquence et en longueur d’onde : une apparente contradiction

Il existe deux formes courantes de la loi de Wien : l’une exprimée en fonction de la fréquence $ \nu $, l’autre en fonction de la longueur d’onde $ \lambda $. Elles ne donnent pas le même maximum numérique, et cela peut sembler contradictoire. En réalité, il n’y a aucune incohérence physique : la différence vient du changement de variable entre $ \nu $ et $ \lambda $.

La clé du problème est que la densité spectrale n’est pas une fonction ordinaire : c’est une densité par unité de fréquence ou par unité de longueur d’onde. Changer de variable modifie donc la forme de la fonction.

La loi de Planck en fréquence

La loi complète du rayonnement du corps noir obtenue par Max Planck s’écrit, en fonction de la fréquence : \[ u_\nu(\nu,T) = \frac{8\pi h}{c^3} \frac{\nu^3}{e^{h\nu/kT}-1}. \]

La loi de Wien correspond à l’approximation haute fréquence $ h\nu \gg kT $, pour laquelle

\[ e^{h\nu/kT} - 1 \approx e^{h\nu/kT}. \]

On obtient alors :

\[ u_\nu(\nu,T) \approx \frac{8\pi h}{c^3} \nu^3 e^{-h\nu/kT}. \]

Le maximum est obtenu en annulant la dérivée par rapport à $ \nu $, ce qui conduit à

\[ \frac{h\nu_{\max}}{kT} = 3. \]

Donc :

\[ \nu_{\max} \propto T. \]

La loi de Planck en longueur d’onde

On peut aussi exprimer la loi de Planck par unité de longueur d’onde. On utilise la relation

\[ \nu = \frac{c}{\lambda}. \]

La transformation d’une densité impose :

\[ u_\lambda(\lambda,T) \, d\lambda = u_\nu(\nu,T) \, d\nu. \]

Or :

\[ d\nu = -\frac{c}{\lambda^2} d\lambda. \]

En prenant la valeur absolue :

\[ u_\lambda(\lambda,T) = u_\nu(\nu,T), \frac{c}{\lambda^2}. \]

Après substitution, on obtient :

\[ u_\lambda(\lambda,T) = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \frac{1}{e^{hc/(\lambda kT)}-1}. \]

Dans la limite de Wien $ hc/(\lambda kT) \gg 1 $, cela devient :

\[ u_\lambda(\lambda,T) \approx \frac{8\pi h c}{\lambda^5} e^{-hc/(\lambda kT)}. \]

Le maximum est obtenu en dérivant par rapport à $ \lambda $. On trouve :

\[ \frac{hc}{\lambda_{\max} kT} = 5. \]

Si l’on maximise la loi exacte de Planck, on obtient

\[ \frac{hc}{\lambda_{\max} kT} \approx 4{,}965. \]

Donc :

\[ \lambda_{\max} T = 2{,}898 \times 10^{-3}\ \mathrm{m·K}. \]

C’est la forme la plus connue de la loi de déplacement de Wien.

Pourquoi les maxima ne correspondent pas ?

C’est ici que se situe la subtilité essentielle.

Le maximum de $ u_\nu(\nu,T) $ ne correspond pas simplement à l’inverse du maximum de $ u_\lambda(\lambda,T) $. En effet :

\[ u_\lambda(\lambda) \neq u_\nu(c/\lambda). \]

Il faut tenir compte du facteur jacobien $ \frac{c}{\lambda^2} $ provenant du changement de variable. Ce facteur déforme la courbe.

Autrement dit, la question « où est le maximum ? » dépend de ce que l’on mesure : énergie par hertz ou énergie par mètre. Ce sont deux densités différentes.

Si vous tracez le spectre en fonction de la fréquence, le pic est à une certaine position. Si vous tracez le spectre en fonction de la longueur d’onde, le pic se déplace. Il n’y a aucune contradiction physique : l’énergie totale est la même, seule la représentation change.

Interprétation physique

Ce phénomène est un exemple très instructif en physique : un maximum dépend de la variable dans laquelle on exprime une densité.

On rencontre exactement le même effet en mécanique statistique lorsque l’on change de variable entre énergie et vitesse dans la distribution de Maxwell. La position du maximum dépend de la variable choisie.

La loi de Wien en longueur d’onde est celle que l’on utilise le plus souvent en astrophysique, car les spectres sont généralement mesurés en fonction de $ \lambda $. En revanche, dans les développements théoriques, la formulation en fréquence est souvent plus naturelle.

Comparaison numérique des deux maxima spectraux

Il est très instructif de comparer numériquement les positions du maximum spectral pour une température typique de photosphère stellaire, par exemple $ T = 6000 \, \mathrm{K} $, proche de celle du Soleil.

En utilisant la loi de Wien sous ses deux formes, on obtient :

\[ \nu_{\max} = a_\nu \, T \qquad \text{et} \qquad \lambda_{\max} = \frac{b}{T} \]

où $ a_\nu \approx 5{,}88 \times 10^{10} \, \mathrm{Hz,K^{-1}} $ et

$ b \approx 2{,}898 \times 10^{-3} \, \mathrm{m,K} $.

Pour $ T = 6000 \, \mathrm{K} $, on trouve numériquement :

\[ \nu_{\max} \approx 3{,}53 \times 10^{14} \, \mathrm{Hz} \] \[ \lambda_{\max} \approx 4{,}83 \times 10^{-7} \, \mathrm{m} \quad (483 \, \mathrm{nm}) \]

Si l’on convertit maintenant la fréquence maximale en une longueur d’onde par la relation

\[ \lambda = \frac{c}{\nu}, \]

on obtient :

\[ \lambda(\nu_{\max}) \approx 8{,}49 \times 10^{-7} \, \mathrm{m} \quad (849 \, \mathrm{nm}) \]

On constate donc clairement que

\[ \lambda(\nu_{\max}) \neq \lambda_{\max}. \]

Le rapport numérique vaut environ

\[ \frac{\lambda(\nu_{\max})}{\lambda_{\max}} \approx 1{,}76. \]

Cette différence est fondamentale : le maximum d’une distribution spectrale dépend de la variable choisie pour la décrire. La densité spectrale exprimée en fonction de la fréquence $ u_\nu $ et celle exprimée en fonction de la longueur d’onde $ u_\lambda $ ne sont pas reliées par une simple substitution $ \lambda = c/\nu $, mais par une transformation différentielle qui modifie la forme de la courbe et déplace son maximum. Il ne s’agit donc pas d’un paradoxe physique, mais d’un effet mathématique lié au changement de variable.

Ce que cela signifie pour le Soleil

Pour le Soleil, on obtient

• Maximum en longueur d’onde : ≈ 483 nm (bleu-vert)
• Longueur d’onde correspondant au maximum en fréquence : ≈ 849 nm (infrarouge proche)

Alors… le Soleil est-il vert ? infrarouge ?

Ni l’un ni l’autre.

Le spectre est large et asymétrique.

Le maximum dépend de la manière dont on mesure la densité.

Conclusion

Il n’y a donc pas deux lois de Wien contradictoires, mais deux expressions d’une même réalité physique, liées par un changement de variable non linéaire.

La différence entre

\[ \nu_{\max} \propto T \quad \text{et} \quad \lambda_{\max} T = \text{constante} \]

est une conséquence directe du fait que

\[ \nu = \frac{c}{\lambda} \]

est une transformation non linéaire, qui modifie la forme de la densité spectrale et donc la position du maximum.

C’est un excellent exemple pédagogique montrant qu' « un maximum dépend toujours de la variable dans laquelle on décrit une distribution ».

La fonction de partition : cœur statistique de la théorie de Planck

Pour comprendre en profondeur la dérivation de la loi de Planck, il faut introduire un outil central de la mécanique statistique : la fonction de partition. C’est elle qui permet de relier la description microscopique des niveaux d’énergie quantifiés à la thermodynamique macroscopique observable.

Nous nous plaçons dans l’ensemble canonique, c’est-à-dire un système en équilibre thermique à température $ T $, en contact avec un thermostat. La probabilité qu’un système microscopique occupe un état d’énergie $ E_n $ est donnée par la loi de Boltzmann :

\[ P_n = \frac{e^{-\beta E_n}}{Z}, \qquad \beta = \frac{1}{kT}. \]

La quantité

\[ Z = \sum_n e^{-\beta E_n} \]

est la fonction de partition canonique.

Elle joue un double rôle fondamental. D’une part, elle assure la normalisation des probabilités. D’autre part, elle contient toute l’information thermodynamique du système. En effet, toutes les grandeurs macroscopiques peuvent être obtenues par dérivation de $ \ln Z $.

Signification physique de la fonction de partition

La fonction de partition peut être vue comme une « somme pondérée » sur tous les états accessibles, chaque état étant pondéré par son facteur de Boltzmann $ e^{-\beta E_n} $.

Si $ T $ est faible, le facteur exponentiel favorise les états de basse énergie. Si $ T $ est élevée, les états d’énergie plus élevée deviennent progressivement peuplés.

Autrement dit, $ Z $ encode la compétition entre énergie et agitation thermique. Elle mesure en quelque sorte le nombre effectif d’états accessibles à la température $ T $.

Une propriété remarquable est que l’énergie libre de Helmholtz s’écrit

\[ F = -kT \ln Z. \]

Ainsi, connaître $ Z $, c’est connaître la thermodynamique complète du système.

Calcul de l’énergie moyenne à partir de la fonction de partition

L’énergie moyenne d’un système dans l’ensemble canonique est donnée par

\[ \langle E \rangle = \sum_n E_n P_n. \]

En utilisant la définition de $ P_n $, on obtient

\[ \langle E \rangle = \frac{\sum_n E_n e^{-\beta E_n}}{Z}. \]

Cette expression peut être transformée de manière élégante en dérivant $ Z $ :

\[ \frac{\partial Z}{\partial \beta} = - \sum_n E_n e^{-\beta E_n}. \]

On en déduit

\[ \langle E \rangle = - \frac{\partial}{\partial \beta} \ln Z. \]

Cette relation est fondamentale : elle montre que l’énergie moyenne est directement obtenue par dérivation logarithmique de la fonction de partition.

Application à l’oscillateur harmonique quantifié

Dans la théorie de Max Planck, chaque mode électromagnétique de la cavité est assimilé à un oscillateur harmonique dont les niveaux d’énergie sont

\[ E_n = n h \nu, \qquad n = 0,1,2,\dots \]

La fonction de partition devient

\[ Z = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta n h\nu}. \]

Il s’agit d’une série géométrique de raison

\[ q = e^{-\beta h\nu}. \]

Sa somme est

\[ Z = \frac{1}{1 - e^{-\beta h\nu}}. \]

Le logarithme vaut

\[ \ln Z = - \ln\left(1 - e^{-\beta h\nu}\right). \]

En appliquant la relation générale

\[ \langle E \rangle = - \frac{\partial}{\partial \beta} \ln Z, \]

on obtient

\[ \langle E \rangle = \frac{h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1}. \]

C’est ici que la physique change radicalement par rapport au cas classique.

Lorsque $ h\nu \ll kT $, le développement limité donne

\[ \langle E \rangle \approx kT, \]

ce qui correspond au théorème d’équipartition. Mais lorsque $ h\nu \gg kT $, l’énergie moyenne décroît exponentiellement. Les modes de haute fréquence deviennent pratiquement inoccupés, ce qui supprime la catastrophe ultraviolette.

Pourquoi la fonction de partition est indispensable

Sans la fonction de partition, on ne pourrait pas passer rigoureusement de la quantification des niveaux d’énergie à une grandeur moyenne mesurable. Elle constitue le pont mathématique entre la structure discrète microscopique et les grandeurs continues macroscopiques.

Dans le cas du rayonnement du corps noir, la stratégie complète est donc la suivante. On quantifie d’abord les niveaux d’énergie des oscillateurs. On calcule ensuite leur fonction de partition. On en déduit l’énergie moyenne par dérivation. Enfin, on multiplie par la densité de modes électromagnétiques pour obtenir la densité spectrale du rayonnement.

Ainsi, la loi de Planck n’est pas simplement une formule ajustée aux données expérimentales. Elle est la conséquence directe de trois éléments combinés : la quantification $ E = nh\nu $, la statistique de Boltzmann et l’outil central qu’est la fonction de partition.

Portée conceptuelle

La fonction de partition est devenue l’objet central de toute la physique statistique moderne. Que l’on étudie un gaz parfait, un solide cristallin, un système magnétique ou un champ quantique, la démarche reste la même : déterminer les niveaux d’énergie, construire $ Z $, puis dériver les propriétés thermodynamiques.

Dans le cas du corps noir, cette méthode a marqué la naissance de la physique quantique. Ce qui n’était au départ qu’un artifice mathématique introduit par Planck s’est révélé être un principe fondamental de la nature : l’énergie est quantifiée, et la statistique thermique s’exprime naturellement à travers la fonction de partition.