Bilan énergétique d’une douche

Données

• Volume d’eau pour la douche : 50 L (1 L ≈ 1 kg).
• Température d’arrivée de l’eau : 15 °C. Température de la douche : 40 °C.
• Capacité thermique massique de l’eau : c = 4184 J·kg⁻¹·K⁻¹.
• Conversion énergie : 1 kWh = 3.6×10⁶ J.
• Durée typique de la douche : 10 minutes (600 s).
• Rendements :
  • chauffage électrique (résistance) ≈ 100 % (toute l’électricité devient chaleur utile) ;
  • chauffage au gaz (chaudière ou chauffe-eau) : on prendra η = 90 % (chaudière moderne / chauffe-eau à condensation).
• Tarifs indicatifs :
  • Électricité résidentielle : $\simeq$ 0,16 €/ kWh, hors abonnement, septembre 2025.
  • Gaz naturel : $\simeq$ 0,125 € / kWh, TTC, hors abonnement, septembre 2025.

Enoncé

1. Calculer l’énergie nécessaire (en J et en kWh) pour chauffer 50 L d’eau de 15 °C à 40 °C.
2. Pour une douche de 10 minutes, calculer la puissance moyenne thermique nécessaire (en W).
3. Calculer l’énergie électrique consommée et le coût de la douche si l’eau est chauffée par résistance électrique (rendement 100 %) en prenant 0,16 €/kWh.
4. Calculer la quantité d’énergie gaz nécessaire et le coût si l’eau est chauffée par un chauffe-eau au gaz (rendement 90 %) en prenant 0,125 €/kWh.
5. Comparer les coûts et commenter (quel mode est le moins cher ici ? quels autres facteurs influencent le choix ?).

Corrigé détaillé (avec étapes)

1) Énergie nécessaire pour chauffer 50 L de 15 → 40 °C

• Masse $m = 50\ \mathrm{kg}$ (1 L ≈ 1 kg).
• ΔT = $40 - 15 = 25\ \mathrm{K}$.
• $c = 4184\ \mathrm{J/(kg·K)}$.

Énergie (J) :

$$ E = m\,c\,\Delta T = 50 \times 4184 \times 25 = 50 \times 104600 = 5\,230\,000\ \mathrm{J}. $$

Conversion en kWh :

$$ E_{\text{kWh}} = \dfrac{5\,230\,000}{3{,}6\times10^{6}} \approx 1{,}453\ \text{kWh}. $$

2) Puissance moyenne nécessaire pour une douche de 10 min (600 s)

Puissance moyenne $P = E / \Delta t$ : $$ P = \dfrac{5\,230\,000\ \mathrm{J}}{600\ \mathrm{s}} \approx 8\,716\ \mathrm{W} \approx 8{,}7\ \mathrm{kW}. $$

Remarque: 8,7 kW est élevé — les chauffe-eau instantanés électriques ont souvent des puissances élevées (6–24 kW selon le modèle), alors qu’un ballon chauffe l’eau plus lentement (stockage). Pour un chauffe-eau domestique on peut avoir un débit d’eau chaud limité pour rester dans la puissance disponible.

3) Coût si chauffage électrique (rendement 100 %), tarif 0,16 €/kWh

• Énergie consommée = 1,453 kWh (car rendement 100 %).
• Coût = $1{,}453\ \text{kWh}\times 0{,}16\ \text{€/kWh} = 0{,}23\ €$.

Coût : 23 centimes

4) Coût si chauffage au gaz (rendement 90 %), tarif gaz 0,125 €/kWh

• Énergie utile nécessaire = 1,453 kWh (toujours).
• Avec rendement η = 0,90, énergie gaz fournie :

$$ E_{\text{gaz}} = \dfrac{1{,}453}{0{,}90} \approx 1{,}614\ \text{kWh (gaz)}. $$

• Coût = $1{,}614 \times 0{,}125 = 0{,}20\ €$.

Coût : 20 centimes